Henk Broer > DSMP > MATHS > JBI > FWN > RUG

Alles beweegt, maar waarheen

afscheidsrede gewoon hoogleraar, 20 november 2015

Henk W. Broer

Vermöge der Musik genießen sich die Leidenschaften selbst
Jenseits van Gut und Böse, Friedrich Nietszche 1886

GEACHTE AANWEZIGEN: FAMILIE, VRIENDEN, COLLEGA’S, BESTUURDERS!

IK GROET U ALLEN ZEER.

Vandaag neem ik afscheid als gewoon hoogleraar met een terugblik op mijn carrière. Als honorair hoogleraar neem ik ook nog enige tijd deel aan onderwijs, onderzoek, congresbezoek, e.d. In die zin geeft mijn huidige verhaal een tussenstand.

Ik zal vanaf deze plaats geen uitvoerig dankwoord uitspreken aan de verschillende besturen, collega’s en familie, maar mij hier beperken tot het noemen van mijn moeder Geertje en mijn vrouw Trijntje: zonder deze beide zou ik hier nu niet staan.

Hildeberto Jardón, die recentelijk bij mij gepromoveerd is: thanx for all graphics (movies) in this lecture. In te publiceren versie van deze rede kunt u meer details vinden.

Tussen haakjes, ik hoop dat de bestuurders dezer universiteit mij niet kwalijk nemen dat ik deze lezing, aan onze zo Engelstalige universiteit, toch maar in het NEDERLANDS houd.

1. Inleiding

Tijdens mijn schoolopleiding kregen wij wis-, natuur- en scheikunde op een zeer geïnspireerde manier, van leraren met een brede belangstelling, en regelmatig ook met een academische graad of een MO-B acte.

Wis- en natuurkunde gingen bij bepaalde onderwerpen mooi gelijk op, zoals snelheid, versnelling en arbeid, in verband met differentiaal- en integraalrekening. Beide leraren waren dubbelbevoegd en wisselden elkaars vakken en lesprogramma’s tweejaarlijks om.

Tijdens het vervolg bij deze universiteit volgde ik de richting Wiskunde EN Natuurkunde, MET Sterrenkunde, en na mijn kandidaatsexamen kon ik nog alle kanten op.

De wiskunde was de meeste van deze drie door haar strengheid van redeneren, maar vooral door het feit dat de wiskunde aan de basis ligt van vrijwel alles. In het algemeen ervaar ik de natuurwetenschappen als een eenheid die deel uitmaakt van onze cultuur.

Sinds 1971 werk ik bij deze universiteit, waarvan ik, over het algemeen, zeer veel voldoening heb gehad. In 1991 werd ik bijzonder hoogleraar en in 2001 gewoon. Tijdens mijn aanstelling heb ik veel buitenlandse instellingen bezocht. Sedert 2008 ben ik tevens lid van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen.

In vogelvlucht neem ik u mee langs een aantal zaken uit de afgelopen 45 jaar. Mijn focus zal daarbij eerst inhoudelijk zijn, maar ik wil u ook enige opmerkingen van meer politieke aard niet onthouden.

Deze laatste betreffen ontwikkelingen tussen het VWO en het WO: het Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs en het Wetenschappelijk Onderwijs. En ook ontwikkelen van het onderzoeksklimaat aan de Nederlandse universiteiten.

Allereerst wil ik even stilstaan bij enige trends (of hypes) zoals men die in de wetenschappelijke wereld kent, mooie gelegenheden voor beleidsmakers om een sturende invloed op uit te oefenen.

Binnen mijn eigen vakgebied ken ik er inmiddels een stuk of vier: Catastrofe-theorie, Chaos-theorie, Complexity en Big Data, maar misschien tel ik niet goed. Ik moet zeggen dat mijn carrière in ruime mate heeft geprofiteerd van de eerste twee hiervan, en een klein beetje van de derde. Het vierde onderwerp laat ik graag aan mijn opvolgers over; Jos Roerdink, en velen met hem, wens ik in dezen succes.

Gedurende de jaren 1970-80 was daar de eerste trend, de CATASTROFE-THEORIE. Dat is een succesvolle theorie over niet-lineaire dynamica, waarbinnen plotselinge veranderingen (catastrofes) kwalitatief worden beschreven. In dit verband wil ik de namen René Thom en Christopher Zeeman noemen. De laatste hiervan gaf in de jaren 1990 een Johann Bernoulli lezing vanaf deze zelfde catheder.

Daarna, tussen 1980-90 bloeide de CHAOS-THEORIE, tweede van de genoemde trends, een naam die – zover ik weet – door journalisten bedacht is. Het gaat erom dat veel niet-lineaire systemen, ondanks hun deterministische karakter, toch lijden aan een zekere onvoorspelbaaarheid. Denkt u maar aan het weer.


Galileo Galileï (1564 - 1642)

Opmerkingen

  • Interessant is dat chaostheorie sterk van buitenaf geïnitieerd / gestimuleerd is: Belangrijke spelers zijn Edward Lorenz (wiskundige - meteoroog), Robert May (bioloog) – beidden jaren 1960, Michel Hénon (astronoom) en Mitchell Feigenbaum (natuurkundige) – beiden jaren 1970-80.

Verder wil ik met u stilstaan bij enige culturele en maatschappelijke aspecten van wiskunde. Zelf ben ik geïnteresseerd in popularisering van de wiskunde. Dit blijkt onder meer uit mijn publicaties [ 5, 6, 8, 11, 13, 14 ]  . Dit sluit aan bij mijn al eerder genoemde interesse in wiskunde als deel van een bredere natuurwetenschappelijke cultuur.

Verder wil ik enige opmerkingen maken over onderwijs en onderzoek, deels met als houvast het \(\Delta\)–plan voor de Nederlandse Wiskunde [ 17 ], dat in mei 2015 openbaar werd. Meestal duidt een \(\Delta\)–plan erop dat er iets goed mis is, dus dat belooft nog wat. In alle gevallen is er sprake van ontwikkelingen, dus bewegingen. Ik zal steeds proberen aan te geven waarheen \(\ldots\)

2. Onderzoekslijnen

Veel van mijn onderzoek heeft te maken met het begrip resonantie. U kent dat wel: uw borstkas trilt mee als u voluit zingt, of bij luide tromgeroffel. Soldaten moeten op een brug uit de pas lopen, omdat deze anders wel eens kan instorten. Vroeger stemde u uw radio af op de binnenkomende frequentie van Radio 4 (nu gebeurt dat meestal automatisch). De maan staat steeds met hetzelfde gezicht naar de aarde, haar omloopstijd om de aarde is gelijk aan die van de rotatie om haar as. In mijn oratie van 1992 kwam resonantie ook al voor. Het begrip heeft als een soort rode draad door mijn werk gelopen.


Botafumeiro ( kijk film hier )

Een aardig voorbeeld is de Botafumeiro in de kathedraal van Santiago de Compostela. Een groot wierookvat slingert aan een kabel die over een katrol loopt. Verschillende geestelijken trekken het vat op zodra het de grond nadert. Het systeem bevindt zich daarom in een 1 : 2 resonantie: de priesters moeten twee keer zo vaak op en neer bewegen als de slinger heen en weer.

2.1 Galileïsche dans

Recentelijk heb ik samen met een postdoc, Lei ZHAO, gekeken naar de vier Galileïsche manen van Jupiter: Io, Europa, Ganymedes en Callipso. Dit onderzoek sluit aan bij zowel de eerste als de tweede hierboven genoemde trend. Bovendien vormt het een opstapje naar een centraal resultaat wat ik, in samenwerking met anderen, heb ontwikkeld. Het blijkt zometeen dat in deze Joviaanse dynamica een dubbele resonantie optreedt. Ik breng kort de geschiedenis in herinnering.


Zeus rooft Ganymedes volgens Rembrandt

Allereerst: Waar komen die namen vandaan?
Het zijn alle vier liefjes van Zeus = Jupiter. Op voorspraak van niemand minder dan Johannes Kepler geïntroduceerd door Simon Marius. Het is tekenend dat Galileo koppig I, II, III en IV bleef gebruiken.
Rembrandt heeft de roof van het jongetje Ganymedes door Zeus (als adelaar), treffend verbeeld. Je kan je natuurlijk wel afvragen wat de commissie Deetman hierover te zeggen zou hebben.

Galileo interpreteerde dit hele systeem als een miniatuur-zonnestelsel: Het vormde een positieve aanwijzing voor het heliocentrische zonnestelsel.

Zoals u waarschijnlijk weet, was dat toentertijd volop in discussie. Bekend hierover is zijn pamflet Sidereus Nuncius (sterrenbode of sterrenboodschapper) uit 1610. Het conflict dat hij hierover met de kerk heeft gekregen valt buiten ons huidige bestek.

Rond 1900 ontdekte de Astronomer Royal sir David Gill vanuit de Kaapse sterrewacht, een dubbele 1 : 2 resonantie in de bewegingen van de manen: Europa heeft (ongeveer) een tweemaal zo grote omloopstijd als Io en Ganymedes weer een tweemaal zo grote omloopstijd als Europa.


Simpele Galileïsche dans

Willem de Sitter (út Snits) is op de wiskundige achtergrond hiervan in 1901 bij Jacobus Cornelius Kapteyn gepromoveerd (voor de bestuurders: dit was een Groningse promotie). Zie de zeer leesbare biografie van de hand van Jan Guichelaar [ 18 ]


Willem de Sitter (1872 - 1934)

De Sitter [ 34, 35, 36 ] gebruikte werk van Poincaré , aartsvader van de chaostheorie, overigens net als Kolmogorov \(\ldots\)

Terug naar de Sitter. Deze laat in een Newtoniaans model zien hoe het Joviaanse 5-lichamen systeem een stabiele periodieke beweging kan doormaken. De verwachting is natuurlijk dat dit een benadering geeft van de `echte' beweging. Wij hebben zijn verhaal eerst herteld, gebruikmakend van latere meetkundige inzichten. Daarnaast hebben wij het al aangeduide Gronings onderzoek toegepast om libraties van De Sitter's periodieke beweging te vinden. Dat zou een nog betere benadering moeten opleveren van de echte beweging.


Henri Poincaré (1854 - 1912) en Andrey N. Kolmogorov (1903 - 1987)

Zwierige dans

Een libratie is een beweging met twee onafhankelijke perioden. We spreken wel van multiperiodiek (hier: multi = 2). Omwille van de zichtbaarheid nogal overdreven weergegeven.

2.2 Geparametriseerde KAM theorie

Laat mij deze gelegenheid aangrijpen om even stil te staan bij dat Gronings onderzoek. Dit betreft een uitbreiding van werk uit de jaren 1950-60 van Kolmogorov, Arnold en Moser (KAM) [ 20, 21, 2, 28 ] over multi- of quasi-periodiciteit. Onze uitbreiding is een theorie die rond 1990 begon met de promotie van George Huitema [ 4 ]. Naast KAM theorie speelt hierin Catatrofe-Theorie (of iets algemener Singulariteiten-Theorie) een belangrijke rol.
We spreken van Geparametriseerde KAM theorie, passend in algemene theoriën over generieke families systemen. Later hebben ook de promovendi Heinz Hanßmann, Florian Wagener, Jun Hoo en Cristina Ciocci hieraan bijgedragen. Voor een overzicht zie [ 8 ].


By the way, in 1995 schreef ik, samen met Ferdinand Verhulst en Jan van de Craats een populariserend werk [ 6 ] over deze chaostheorie.

Toepassing van deze theorie geeft een grote kans op libraties, die betere benadering vormen van het Joviaanse systeem. In al deze gevallen is het nog vrij duidelijk waarheen alles beweegt, zeg met de duidelijkheid van de paasdatum.

DIT VEREIST MOGELIJK ENIGE UITLEG.
ZOALS U VERMOEDELIJK WEET IS PAASZONDAG DE EERSTE ZONDAG NA DE EERSTE VOLLE MAAN NA HET BEGIN VAN DE LENTE. MERK OP DAT HIER drie draaibewegingen BIJ BETROKKEN ZIJN: HET BEGIN VAN DE LENTE IS EEN PUNT IN DE REVOLUTIE VAN DE AARDE OM DE ZON. DE VOLLE MAAN IDEM DITO IN DE REVOLUTIE VAN DE MAAN OM DE AARDE. DE EERSTE ZONDAG NA VOLLE MAAN TELT ROTATIES VAN DE AARDE OM HAAR AS. EEN ALGEMEEN VERTROUWEN IS DAT DE PERIODEN VAN DEZE DRIE DRAAIBEWEGINGEN, ALTHANS HUN VERHOUDINGEN, NIET TEVEEL VERANDEREN. OP INTERNET ZAG IK IN DIT VERBAND AL EEN eeuwigdurende KALENDER \(\ldots\)

Er is echter ook een kleine kans dat er op de zeer lange termijn hele andere dingen kunnen gebeuren.
Zo kan ons zonnestelsel [ 25 ] op termijn van, zeg, een paar 100 000 jaar een mooi apocalytisch einde beleven.


Apocalyps ( kijk film hier )

Iets dergelijks kan ook best gebeuren met de Galileïsche manen. Een ongeluk zit in een klein hoekje en dat is een belangrijk kenmerk van chaos.

Opmerkingen

  • Tegenwoordig gaat de benadering van deze Joviaanse beweging numeriek. In [ 22 ] wordt gewerkt met een relativistische correctie van De Sitter. De nauwkeurigheid is groots: 100 jr heen en terug geeft een verschil van nog geen 8 m.
  • De Sitter is beroemd geworden om zijn discussies met Einstein en om het heelal-model dat naar hem genoemd is: het De Sitter Heelal. Naar verluidt was hijzelf echter trotser op zijn werk aan de Galileïsche dans \(\ldots\)

Begin van / Onset of turbulentie. Een haal andere toepassing van de Geparametriseerde KAM Theorie neemt ons mee naar de natuurfilosofie. Deze theorie verzoent daar twee gezichtspunten over het ontstaan van turbulentie in vloeistoffen en gassen.

Vraag is naar één wiskundige beschrijving van zowel de rustige laminaire stroming als de woelige turbulentie. Een vloeistof wordt langzamerhand turbulent door verhoging van een of andere parameter. Hoe kan dat? Er waren in dit verband twee stromingen:

  • Voorstel Hopf, Landau, Lifschitz (ca. 1950):
    de stroming wordt steeds complexer doordat er extra perioden bijkomen. Denk aan de Galileïsche dans, maar met steeds meer perioden. Multiperiodiciteit dus.
  • Ruelle en de Groninger Takens schreven (ca. 1970):
    On the Nature of Turbulence [ 33 ], een enigszins 17e-eeuws aandoende titel. Hun voorstel is om naast multiperiodiciteit ook chaos te beschouwen als mogelijke kandidaat voor het complexer worden van de stroming. Zij spreken van strange attractor \(\ldots\)

Enige tijd leken deze twee benaderingen `multiperiodiek' en `chaotisch' met elkaar in strijd.

Voor de liefhebbers: de controverse was een kwestie van topologie vs. maattheorie, vergelijk Oxtoby [ 29 ], een aanrader. Met de Geparametriseerde KAM theorie blijken ze echter broederlijk naast elkaar voor te komen, zie figuur. Karakteristiek voor wiskunde is haar geldigheid in allerlei verschillende contexten.



Schematische weergave van co-existentie van multiperiodiciteit (boven) en chaos (beneden) gerelateerd aan een klimaatmodel. Het diagram zit in de gewone 3-dimensionale ruimte. Denkt u aan een bol waar u in de linker plaatjes bovenop kijkt. In de rechter plaatjes kijkt u van opzij naar de bol. Renato Vitolo en Alef Sterk waren als promovendi en later als collega's betrokken bij dit onderzoek en ook de Catalaan Carles Simó, een decennia-lange collega. Er is enig verschil in het waarheen van beide soorten dynamica: de multiperiodieke (gestippelde kromme -- boven) is in hoge mate voorspelbaar (vergelijk de paasdatum), maar de chaotische (beneden), op iets langere termijn, niet \(\ldots\)

De natuurkundige Werner Heisenberg zou op zijn sterfbed het volgende gezegd hebben: Als ik God ontmoet, zal ik hem twee vragen stellen: Waarom relativiteit? En waarom turbulentie? Ik geloof werkelijk dat Hij een antwoord zal hebben op de eerste vraag. [ Ook toegeschreven aan Horace Lamb. ]

We zijn ondertussen de rode draad van de resonantie een beetje kwijtgeraakt. Nog even dan.

Rond 1900 en iets later, is een wijdvertakte theorie ontworpen door Cantor, L.E.J. Brouwer, Lebesgue, Hausdorff, Sierpinski, en anderen rond begrippen als gebroken dimensies, fractale meetkunden, avant la lettre.
Toentertijd waren het vooral zuiver wiskundige exercities om het begrip van wat zich zoal in en rondom oneindige verzamelingen, in het bijzonder het continuüm, kan afspelen.
Vanaf een jaar of 60 later wordt deze manier van denken ge-valoriseerd in grote delen van het onderzoek in mijn vakgebied.

Opmerkingen

  • De term `fractal' is een trouvaille van B.B.~Mandelbrot [ 26 ]
  • Catchy namen zijn belangrijk: `catastrofe', `strange attractor', `chaos', \(\ldots\)

Schematisch diagram van model achter de 1 : 2 resonante Botafumeiro. De twee `pupillen' staan voor de dubbele periode van het slingerend vat. Te zien is gezamenlijk voorkomen van periodieke (lossen punten), multiperiodieke (gestippelde cirkels) en chaotische dynamica (puntenwolken). De wiskundige achtergrond komt uit de Singulariteiten-Theorie) en werd ontwikkeld samen met Gert Vegter, een zeer goede collega over de afgelopen decennia. Later heb ik hier ook samen met Mark Levi en Carles Simó aan gewerkt.

Voor de liefhebbers tot slot nog dit. Veel van het volledige Groninger onderzoeksprogramma, in relatie tot internationaal onderzoek, is terug te vinden in de overzichts-publicaties [ 7, 9, 10 ]. Hierin speelt mijn eerdere leermeester en latere collega Floris Takens ook een belangrijke rol. Verder kan de decennia-lange Russische collega Mikhail Sevryuk hier niet ongenoemd blijven.

2.3 Toekomst

Voorspellen is moeilijk, vooral als het de toekomst betreft. Veel resultaten in mijn vakgebied berusten, van oudsher, op het bestuderen van storingen van een bekend systeem, waarbij men eigenschappen van het bekende systeem poogt voort te zetten (of te continuëren) naar de storing. Vergelijk de Galileïsche dans: de `echte' beweging is gevonden als een kleine storing van de artificiële beweging in ons filmpje \(\ldots\)

De systemen worden echter gaandeweg groter, complexer. Denk hierbij bijvoorbeeld aan: meteorologie (het klimaat) of biologie (o.m. hersenen). Hoe krijgen we hier met z'n allen vat op? Plaatjes als hiervoor zijn niet altijd een-twee-drie te maken. Computationele gereedschappen krijgen een wezenlijke rol, met computer gegeneerde bewijzen, topologische methoden, inclusief geraffineerde visualisatie-technieken, etc.

Er zijn maar betrekkelijk weinig wiskundige methoden bekend die een globaler karakter hebben, zeg voor `in the middle of nowhere'. Soms helpen coderingstheoriën, die soms aansluiting vinden bij probabilistische methoden en, bijvoorbeeld, bij statistische mechanica.

Een anecdote. Een rollende dobbelsteen is een dermate gecompliceerd deterministisch systeem, dat men het meestal vervangt door het bekende toevalsmodel gebaseerd op de zijden waarop de steen kan landen. De nummers op de zijden geven hierbij de codering.

Dit alles vormt een interessant onderzoeksgebied, waarin op dit moment nog meer vragen zijn dan antwoorden. In de gedrukte versie vindt u meer meer \(\ldots\) Het hele vakgebied is ondertussen allerwege in beweging. Soms is het duidelijk waarheen, maar vaak ook niet.

3 Culturele en maatschappelijke rol van wiskunde

Zoals ik al aangaf ervaar ik de natuurwetenschappen als een eenheid die deel uitmaakt van onze cultuur. In mijn publicaties geef ik uitdrukking aan deze verbondenheid met mechanica, optica, maar ook met biologie (populatie-dynamica, chronobiologie).

3.1 Inleiding

Deze verbondenheid breng ik ook tot uiting in populariseringen. Verder zal ik aandacht besteden aan enige elementen uit het al genoemde \(\Delta\)-plan voor de Nederlandse wiskunde [ 17 ] .
De ondersteunende organisaties zijn de Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek (NWO) en het Platform Wiskunde Nederland (PWN), waarvan ikzelf een der initiatoren ben. Zeer velen hebben hieraan bijdragen geleverd aan het plan. De aanbevelingen uit het \(\Delta\)-plan ondersteun ik in het algemeen van harte, soms heb ik er nog het nodige aan toe te voegen. In het bijzonder zal ik het hebben over de aansluiting V(W)O en WO en over het onderzoeksklimaat aangaande het vrije en ongebonden, meestal fundamentele, onderzoek. De Shanghai-lijst komt bij dit laatste ook nog even ter sprake.

Algemene verzuchting: Geef ons minder management en laat de leraren, onderzoekers en artsen weer zelf dingen regelen. Dit geldt niet alleen voor scholen, universiteiten, ziekenhuizen maar bijvoorbeeld ook bij organisaties als het NWO, ministeries, etc. Veel van deze problematiek is ook regelmatig onderwerp in kranten als NRC, VN en De Volkskrant en in een televisieprogramma als Buitenhof. Ik wil hier kort over zijn, en mij beperken tot de volgende anecdote.

Ik citeer de NRC 16 mei 2015, publicatie van Mathieu Weggeman: In een of ander technisch project werd een hoofdingenieur vervangen door manager (bedrijfeconoom & regelneef). Gevolg: jaren later moet een commissie van experts uitzoeken wat er allemaal fout ging. In de tijd dat de Afsluitdijk werd aangelegd ging dat anders. Het brein hierachter was ir. Cornelis Lely, die zelf ook enkele malen optrad als minister van Waterstaat, Handel en Nijverheid. Ik ben blij dat de Zuiderzee-werken niet in deze tijd hoeven te worden gerealiseerd \(\ldots\)

3.2 Cultuur, popularisering

In 1952 kreeg de wiskundeleraar Eduard Jan Dijksterhuis, de PC Hooftprijs voor zijn boek De Mechanisering van het Wereldbeeld [ 16 ]. Hij was wiskundeleraar, later KNAW lid (afdeling letterkunde) en buitengewoon hoogleraar geschiedenis van de natuurwetenschappen. Zijn boek behandelt de ontwikkeling van de natuurwetenschappen van de oude Grieken tot en met Newton. By the way, Dijksterhuis promoveerde op het proefschrift Bijdragen tot de kennis der meetkunde van het platte schroevenvlak (Groningen, 1918 -- promotor was de meetkundige Johan Antony Barrau).


Christiaan Huygens (1629 - 1695) en Johann Bernoulli (1667 - 1748)

Links: Christiaan Huygens' isochrone (en tautochrone) kromme is de cycloïde. Met behulp van de twee cycloïden kan een isochroon slingeruurwerk geconstrueerd worden.
De cycloïde is de baan van het ventiel wanneer het fietswiel langs een rechte lijn rolt. Een lijn in het plafond \(\ldots\)
De linker figuur komt uit het Horologium Oscillatorium [ 19 ], voor een zeer recente Nederlandse vertaling zie Jan Aarts [ 1 ].
Rechts: Johann Bernoulli's brachistochrone probleem, Groningen 1696-97 [ 3 ]. Gevraagd wordt naar een draadprofiel, waarlangs de kraal \(K\) van \(A\) naar \(B\) glijdt in de kortst mogelijke tijd. Voor de liefhebbers: De wrijvingsloze beweging speelt zich af in een constant verticaal zwaartekrachtsveld. Ook hier duikt de cycloïde op.

TOELICHTING:

Een anecdote: Een tiental jaren geleden was er op een plaatselijk gymnasium een bijeenkomst van ouders met enkele leraren, het geheel onder leiding van een lerares in een moderne taal. Het onderwerp van de bijeenkomst was cultuur. In de heersende opvatting bestond cultuur slechts uit klassieke en moderne literatuur en geschiedenis. Dat Euclides' Elementen ook een classic is, met een grotere afname dan de Bijbel, was niet van belang. Dat was wiskunde en hoorde bij techniek en zo \(\ldots\) Zoals u zult begrijpen vind ik deze benadering van cultuur nogal bekrompen.


Iso- en Tautochroon

Brachistochroon

Sir Isaac Newton (1642 - 1727), man of two millenia \(\ldots\) Ze kenden elkaar alledrie, en waren lid van zo'n beetje alle Europese Academies. De Royal Society Londen, de Académie de Sciences Parijs, de academies van Bologna, Berlijn en Petersburg.

De aanleiding voor mijn boek Hemelverschijnselen nabij de Horizon [ 13 ] wordt gevormd door een sectie uit Minnaert's De Natuurkunde van 't Vrije Veld, [ 27 ], namelijk over blinde (donkere) stroken in de ondergaande zon. Hierin passeert de cycloïde ook uitvoerig de revue en worden de iso-, tauto- en brachistochrone eigenschap met VWO-methoden bewezen. Binnenkort verschijnt ook de Amerikaanse versie Near the Horizon - an invitation to geometric optics [ 14 ].

Verder heb ik ook een beschrijving gegeven van de wiskundige nalatenschap [ 12 ] van Henri Poincaré in het vakgebied dynamische systemen. Zoals gezegd was Poincaré hiervan een der aartsvaderen. Naast al het gereken van de generaties voor hem, voegde hij belangrijke meetkundige elementen toe. In plaats van één particuliere beweging te berekenen (of benaderen), beschouwde hij alle mogelijke bewegingen van een systeem en hun meetkundige organisatie. Dit geeft veel kwalitieve informatie die onder meer ook de basis heeft gelegd voor het latere begrip chaos.

Tot het einde van de 19e eeuw was er nog sprake van een grote eenheid tussen wis-, natuur- en sterrenkunde. In feite ontplooide de wiskunde zich, in de 16e, 17e en 18e eeuw, hand in hand met mechanica en optica. Hemelmechanica was een gerespecteerde tak van sport binnen mathematische fysica. Veel later zijn de disciplines verder uit elkaar gegroeid, met name in het onderwijs. Ik, en velen met mij, beschouw dit als een betreurenswaardige toestand. De moderne ontwikkelingen in mathematisch-fysisch onderzoek tonen echter aan dat de combinatie nog steeds erg vruchtbaar is, evenals in, bijvoorbeeld, de mathematische biologie.

Opmerkingen

  • De namen van deze disciplines stammen van de Vlaming Stevin. WIS-kunde staat dan voor: wat wis en zeker is, begrijpelijk, transparant.

    By the way, Stevin, net als Minnaert 300 jaar later, was een asielzoeker -- politieke vluchteling als je wilt --, en Minnaert had een Belgisch vonnis van 15 jaar gevangenschap, waaraan hij in Nederland wist te ontkomen. Het is de vraag wat de hedendaagse Nederlandse politici daarmee zouden aanvangen \(\ldots\)
  • De rol van wiskunde in het internationale data-verkeer (bijvoorbeeld de luchtvaart), in uw mobieltje en uw pacemaker, het Global Positioning System (GPS), in weersvoorspellingen, etc. is zeer groot, ook al is deze voor velen onzichtbaar.

    De wiskunde wordt ook vaak opzettelijk verborgen in presentaties, vooral wanneer men het over spannende dingen heeft als zwarte gaten, de oerknal, etc. \(\ldots\)

3.3 Onderwijs: Link VWO - WO

Gedurende de het eerste decennium van deze eeuw was ik lid van een tweetal ministeriële commissies (commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs (cTWO), Natuur Leven & Technologie (NLT)), voor een advies over het curriculum van het VO, in het bijzonder dus het VWO.

Ook ben ik sinds het midden van de jaren 1990 betrokken bij de drukbezochte Nationale Wiskundedagen (NWD). Dit is een door het Utrechtse Freudenthalinstituut (for Science and Mathematics Education) georganiseerde bijeenkomst van leraren (ruim 600) en waarin collega-leraren, kunstenaars of wetenschappers hun kennis en ervaringen delen middels voordrachten, workshops e.d. Kortom, ik vind dat ik enig recht van spreken heb.

Een onmiskenbaar feit is dat veel ervaren VO-leraren en docenten aan de universiteit, zeg over de laatste 50 jaar, een afkalving van het V(W)O ervaren. Vooral voor de `betere' leerling. Er wordt voortdurend veel veranderd, en ook bezuinigd ! Veel veranderingen liggen in de pedagogisch-didactische sfeer en minder in de vakinhoudelijkheid. Vaak zijn ze gericht op leerlingen die meer zorg nodig hebben. Een en ander ging ten koste van de de `betere' leerlingen: die redden zich immers wel. U HOORT HET, IK SPREEK EEN GROOT WOORD GELATEN UIT.

De adviezen van cTWO en NLT waren, althans voor een aantal leden van de commissie, onder meer bedoeld om hier het tij enigszins te keren. Maar een goede aansluiting V(W)O-WO is, ondanks alle hoopvolle adviezen, nog steeds geen groot succes. Goede leerlingen vormen weliswaar maar een kleine markt, maar hen koesteren is wel een noodzakelijke lange-termijninvestering in NEDERLAND KENNISLAND. Het woord markt is gevallen: het is inmiddels gelukkig volop onderwerp van discussie hoe pervers het markt-principe in zaken als het onderwijs werkt.

In onderwijsland zijn ondertussen diepe tegenstellingen ontstaan over de verhouding vakinhoudelijkheid versus pedagogiek / didaktiek, bijvoorbeeld op de lerarenopleidingen. De discussies hierover zijn grotendeels verzand in raillerende stukjes over en weer, met vele verdachtmakingen. Ook is er hier en daar sprake van een enigszins vermoeiende twitter-terreur met lange lappen hypertext. Gelukkig is het \(\Delta\)--plan voor de Nederlandse Wiskunde, op een meer vreedzame manier tot stand gekomen. Deze initiatieven vormen duidelijk een stap in de goede richting. De samenstellers van dit document verdienen hiervoor complimenten!

Ik geef een indruk van de inhoud, door mijzelf nog flink bijgekleurd.

  • Nauwere betrokkenheid van het WO bij het V(W)O. Een voorbeeld waar dit niet goed gegaan is, is de Rekentoets (met getallen, letters, formules). Tijdens vergaderingen van de stuurgroep NLT gewerd mij dat vrijwel alle wiskunde die wij hier met z'n allen bedrijven, eigenlijk ouderwets is.
    • Ik wil graag hopen dat de nieuw in te stellen Curiculumcommissie (OCW-Platform Wiskunde Nederland) tegen dit alles een afdoende middel is.

      Dit geldt ook voor het initiatief Mastermath voor Leraren, voor de bij- en nascholing. Het bijbehorende curriculum zou op den duur vanuit alle universitaire vestigingen verspreid moeten worden. Graag merk ik op dat ik mede-oprichter ben van Mastermath.
    • Honoreer leraren salarieel voor geaccrediteerde vakinhoudelijke bijscholing (tentamenbriefjes). De hele onderwijswetgeving moet alleen al om deze reden heel nodig op de schop.
  • De 1e graads lerarenopleiding moet terug naar universiteit (nu bevindt deze zich grotendeels op het HBO).
  • Vakdidactici zijn tegenwoordig vaak opgenomen in de sociale faculteit. Het zou goed zijn ze (grotendeels) terug te halen naar de 'eigen' faculteiten -- en hen te betrekken bij het reguliere onderwijs. Dan zien ze het met eigen ogen hoe de aansluiting verloopt.

Pièce de resistence voor de niet-ingewijden.
Midden 19e eeuw kwam de Riemannse meetkunde van gekromde ruimten op. Belangrijkste motivatie destijds was het vinden van concrete modellen waarin Euclides' Parallellen-Postulaat niet geldt -- maar wel diens overige postulaten. Na nog een zekere voorbewerking door Lorentz, Poincaré en Minkowski, lag deze theorie rond 1920 klaar op de plank voor Albert Einstein om zijn algemene relativiteitstheorie in te formuleren. Hij had hierbij hulp van de Zwitserse meetkundige Marcel Grossmann [ 30 ].

  • Een van mijn stokpaardjes: Er zou meer interdisciplinaire samenwerking moeten komen op het V(W)O: wiskunde + natuurkunde, natuur- + scheikunde, &c:, ook op lerarenopleidingen.
  • Breed opgeleide leraren zijn nu eenmaal veel inspirerender. Stimuleer & honoreer daarom dubbel-bevoegdheden salarieel.
    Eén van de belangrijke conclusies van het rapport Lenstra [ 24 ], wat betreft didaktiek van het rekenonderwijs, was immers dat alles staat of valt met de kwaliteit engeïnspireerdheid van de leraar.

    EÉN VAN DE CENTRALE PROBLEMEN IN DIT GEHEEL IS HOE JE HET BEROEP VAN V(W)O LERAAR WEER AANTREKKELIJK MAAKT, IN ZIJN OUDE GLORIE HERSTELD, IN HET BIJZONDER OOK VOOR UNIVERSITAIR GESCHOOLDEN.
  • Er is behoefte aan een interdisciplinaire uitbreiding van het \(\Delta\)--plan (KNAW, VSNU). Dit is alleen al nodig om de 1e graads lerarenopleidingen terug te krijgen naar de universtiteiten.
  • De hele geschiedenis overziend, kan je jezelf de vraag stellen of deze ontwikkelingen aan de hoopvolle verwachtingen zullen voldoen.
    In ieder geval was vroeger alles beter \(\ldots \)

Statler en Waldorf, twee betrouwbare getuigen. Binnenkort weer op TV.

3.4 Positie van het vrije, ongebonden en fundamentele onderzoek

Het onderzoek aan universiteiten wordt in belangrijke mate uitgevoerd door tijdelijk personeel, promovendi en postdocs, waarbij de hoogleraren een begeleidende rol hebben. In Duitsland is het zo geregeld, dat een leerstoel een Grundaustattung meekrijgt, bestaande uit een zekere hoeveelheid tijdelijk personeel, die steeds automatisch wordt aangevuld. Deze ideale situatie bestaat helaas niet in Nederland.

Enkele decennia geleden is deze (zogenaamde 1e) geldstroom geheel in handen gegeven van NWO, de Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek. Dit is een bestuursorgaan van het Ministerie van OCW, dat onderzoeksgelden distribueert volgens deze (zogenaamd 2e) geldstroom. Zo ontstond de Vernieuwingsimpuls, waar getalenteerde wetenschappers persoonlijke subsidies kunnen verwerven. De onderzoeksvoorstellen worden op internationale schaal beoordeeld: er is competitie. Kling nie sleg: So far so good.

Iets soortgelijks geldt voor de ERC, de European Research Council.

Verder is het goed te weten dat de ministerële financiering van de universiteiten afhangt van de output: AANTALLEN uitgereikte diploma's, vooral bij promoties. Dit alles indachtig het al genoemde markt-principe.

Er is tegengeluid. Inmiddels wordt bildung genoemd versus al dat getel en de verderfelijke marktwerking. Subtieler gebruik van indicatoren als \(h\)-indices, impact factoren, etc. Gedenkt in dit verband ook het recente KNAW rapport (2015) Ruimte voor Ongebonden Onderzoek, signalen uit de Nederlandse Wetenschap, KNAW 2015. Dit alles dringt te langzaam door tot de ministeriële en universitaire beleids- en bestuursorganen.

  • Echter: De laatste jaren is er in toenemende mate veel te weinig geld voor vrij, ongebonden en fundamenteel (tijdelijk) onderzoek. En zonder fundamenteel onderzoek sterft uiteindelijk alle onderzoek uit, dan dooft het licht.
    \( (*) \) Bij NWO en ERC zijn de fondsen voor posities van promovendi en postdocs sterk afgenomen over laatste decennium.
    \( (*) \) Proposals indienen is dan ook vaak deelnemen aan een loterij met zeer lage slaagkans.
    \( (*) \) Er gaat heel veel geld naar weinigen (indachtig Matheus 13:12), denk met name aan de NWO personal grant vici en aan de ERC Advanced Grant.
    \( (*) \) Wel is er veel buitenlands geld: promovendi komen met eigen fondsen naar Nederland om te promoveren \(\ldots\) Helaas wordt dit niet als competitief verworven geld beschouwd en het telt niet mee voor de carrière!
    • Er is meer geld via allerlei thematisch onderzoek te verwerven: Ik noem de NWO Topsectoren of het ERC HORIZON2020, dit onderzoek moet een sterk maatschappelijk karakter dragen en het liefst medegefinancierd worden door het bedrijfsleven. Als u echter de lijst met ge-associeerde thema's bekijkt, zult u dan ook maar weinig aanknopingspunten met fundamenteel onderzoek vinden. Ook hier wordt de slaagkans overigens steeds lager:
      vele varkens maken nu eenmaal de spoeling dun.
    • De sturing is gericht op toepassingen, het bedrijfsleven.

Toen Maxime Verhagen enkele jaren geleden op televisie het Topsectoren-beleid aankondigde, keek hij trouwhartig in de camera, zeggende dat deze ontwikkeling ook heel goed zou zijn voor het fundamenteel onderzoek in Nederland. Dit bleek echter wel degelijk de gotspe die velen toen al meteen doorzagen.

Collega Klaas Landsman [ 23 ] heeft deze onderzoeksfinancierings-situatie heel prachtig beschreven en goede aanbevelingen gedaan voor een betere verdeling van de onderzoeksgelden.

  • Dat er carrière-programma's voor tenure trackers zijn is op zich een groot goed: men kan doorstromen naar hogere posities als men kwaliteit heeft.

    Een belangrijk criterium voor bevordering van tenure trackers is het in voldoende mate `competitief' geld binnen te halen voor promovendi; deze criteria zijn gedurende de laatste 10 jaar echter niet bijgesteld.
  • Dit botst met het eerste item, namelijk dat er nu te weinig geld is.
  • Gevolg: belangrijke aanstellingen en bevorderingen dreigen niet door te gaan, aantallen promoties nemen af en instituten met veel fundamenteel onderzoek lijden aan een leegloop van jong personeel. Ik bevind mij met deze klacht in het goede gezelschap van onder meer de moleculair oncoloog Piet Borst (zie NRC/24.10.2015))

    In Groningen betreft dit in het bijzonder het Johann Bernoulli Instituut voor Wiskunde en Informatica, het Van Swinderen Instituut voor Deeltjes Natuurkunde en Zwaartekracht, en het Zernike Instituut voor Geavanceerde Materialen.
    Laten de universiteiten hun personeelsbeleid dan bepalen door de geldschieters NWO en de ERC ?

Hendrik Brugt Gerhard Casimir (1909 - 2000). Portret van Mathijs Röling, Trippenhuis Amsterdam (woonzate van de KNAW).

Ik citeer H.B.G. Casimir [ 15 ] (mathematisch fysicus, gepromoveerd bij Ehrenfest (1931), directeur Philips Natuurkundig Laboratorium, eerste president KNAW (1973 - 1978): Hoedt u voor teveel sturing van wetenschap, er moet ook zekere anarchie zijn, deze schept voorwaarden voor serendipiteit. En ook moet er genoeg rechtszekerheid (= zielenrust) zijn voor de wetenschapper.



MIJNE DAMES EN HEREN BELEIDSMAKERS EN BESTUURDERS: DIT ALLES VINDT TOCH NIET ECHT PLAATS AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT GRONINGEN, MET ZIJN PRESTIGIEUZE POSITIE IN DE SHANGHAI RANKING, EN IN HET BIJZONDER NIET BIJ INSTITUTEN MET TOENEMENDE STUDENTEN-AANTALLEN? IN GRONINGEN VERSPILT MEN TOCH GEEN TALENT EN VERZET MEN OP TIJD DE BAKENS ALS HET GETIJ VERLOOPT; IN GRONINGEN KEERT MEN TOCH LIEVER TEN HALVE?
IK GROET U ALLEN ZEER.

en, ik heb gezegd.


Referenties

[1] J.M. Aarts, Christiaan Huygens: Het Slingeruurwerk. Epsilon Uitgaven, Amsterdam 80 2015

[2] V.I. Arnold, Proof of a theorem by A.N.Kolmogorov on the persistence of conditionally periodic motions under a small change of the Hamilton function. Russian Math. Surveys 18(5) (1963) 9-36

[3] J. Bernoulli, Opera Johannis Bernoullii. G. Cramer (ed.; 4 delen), Genève 1742

[4] H.W. Broer, G.B. Huitema, F. Takens, Unfoldings of quasiperiodic tori. Mem. AMS 83(421) (1990) 1-82

[5] H.W. Broer, Huygens’ isochrone slinger. Euclides 70(4) (1995) 110-117

[6] H.W. Broer, J. van de Craats en F. Verhulst, Het einde van de voorspelbaarheid? Tweede druk. Aramith Uigevere - Epsilon Uitgaven 35 1995

[7] H.W. Broer, G.B. Huitema en M.B. Sevryuk, Quasi-periodic motions in families of dynamical systems. Lecture Notes in Ma- thematics 1645, Springer 1996

[8] H.W. Broer, KAM theory: the legacy of Kolmogorov’s 1954 paper. Bull. Amer. Math. Soc. (New Series) 41(4) (2004), 507- 521

[9] H.W. Broer, B. Hasselblatt en F. Takens (eds.), Handbook of Dynamical Systems volume 3. North Holland 2010

[10] H.W. Broer en F. Takens, Dynamical Systems and Chaos. Applied Mathematical Sciences 172, Springer 2011

[11] H.W. Broer, Resonance and Fractal Geometry. Acta Applicandæ Mathematicæ 120(1) (2012) 61-86

[12] H.W. Broer, Perspectives on the legacy of Poincaré in the field of dynamical systems. Nieuw Archief voor Wiskunde 5th series, 13(3) (2012) 201-208

[13] H.W. Broer, Hemelverschijnselen nabij de Horizon. Epsilon Uitgaven 77 2013

[14] H.W. Broer, Near the Horizon – an invitation to geometric optics. MAA CARUS monograph 2015 (to appear)

[15] H.B.G. Casimir, Het Toeval van de Werkelijkheid. Een halve eeuw natuurkunde. Meulenhoff Informatief 1984

[16] E.J. Dijksterhuis, De Mechanisering van het Wereldbeeld. Meulenhof, eerste druk 1950, 7e druk 1996

[17] J. Fokkema et al., Een \(\Delta\)–plan voor de Nederlandse Wiskunde, NWO en PWN 2015

[18] J. Guichelaar, De Sitter, een alternatief voor Einsteins heelalmodel. Van Veen Magazines 2009

[19] Chr. Huygens, Horologium Oscillatorium. In: Œvres Complètes de Christiaan Huygens publiées par la Société Hollandaise des Sciences 16, Martinus Nijhoff, The Hague 1929 Vol. 5, 241-262; Vol. 17, 156-189

[20] A.N. Kolmogorov, On the persistence of conditionally periodic motions under a small change of the Hamilton function. Dokl. Akad. Nauk SSSR 98 (1954) 527–530 (in Russian); In: G. Casati and J. Ford (eds.), Stochastic Behavior in Classical and Quantum Hamiltonian Systems. Volta Memorial Conference (1977), Lecture Notes in Phys. 93, Springer (1979) 51–56; Reprinted in: Bai Lin Hao (ed.), Chaos, World Scientific (1984) 81–86

[21] A. N. Kolmogorov, The general theory of dynamical systems and classical mechanics. In: J.C.H. Gerretsen and J. de Groot (eds.), Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1, Amsterdam 1954 North-Holland (1957) 315-333 (in Russian); Reprinted in: International Mathematical Congress in Amsterdam, 1954 (Plenary Lectures), Fizmatgiz 1961, 187–208; Reprinted as Appendix in: R.H. Abraham and J.E. Marsden, Foundations of Mechanics, Second Edition, Benjamin/Cummings (1978) 741-757

[22] V. Lainey, L. Duriez and A. Vienne, New accurate ephemerides for the Galilean satellites of Jupiter I. Numerical integration of elaborated equations of motion. Astronomy & Astrophysics 420 (2004) 1171- 1183

[23] Klaas Landsman, Wetenschap en Welvaart: een paradoxaal krachtenveld. Nieuw Archief voor Wiskunde 5(15) (2014) 89-95

[24] J.K. Lenstra et al., Rekenonderwijs op de basisschool – Analyse en sleutels tot verbetering, KNAW (2009).

[25] J. Laskar and M. Gastineau, Existence of collisional trajectories of Mercury, Mars and Venus with the Earth. Nature Letters 459 11 June 2009

[26] B.B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature. Freeman 1977

[27] M.G.J. Minnaert, De Natuurkunde van ’t Vrije Veld deel 1, Vijfde Editie, Thieme Meulenhoff 1996; The Nature of Light and Colour in the Open Air, Dover 1954 (eerste uitgaaf 1937-40)

[28] J.K. Moser, Convergent series expansions for quasi-periodic motions. Math. Ann. 169 (1967) 136-176

[29] J.C. Oxtoby, Measure and Category. Springer 1971

[30] A. Pais, Subtle is the Lord. Oxford University Press 1982

[31] J.H. Poincaré, Thèse. In:Œuvres I (1879) LIX-CXXIX. Gauthier VIllars 1928

[32] J.H. Poincaré, Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste I, (1892) Gauthier-Villars, Paris

[33] D. Ruelle en F. Takens, On the nature of turbulence. Comm. Math. Phys. 20 (1971), 167-192; 23 (1971) 343-344

[34] W. de Sitter, On the periodic solutions of a particular case of the problem of four bodies. KNAW Proceedings 11 (1909) 682-698

[35] W. de Sitter, Outlines of a New Mathematical Theory of Jupiter’s Satellites. Ann. Sterrewacht Leiden 12 (1925) 1-55

[36] W. de Sitter, Jupiter’s Galilean satellites (George Darwin Lecture). Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 91 (1931) 706-738